书城自然科学必谈的数学趣闻
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第11章 破碎砝码的妙用

一个商人不慎将一个重40磅的砝码跌落在地面上碎成4块,恰巧每块都是整数磅,后来他又意外发现,可以用这4块碎片做成可以称1到40磅的任意整数磅的重物的新砝码。请你猜一猜,这4块碎片的重量各是多少?

这就是著名的德·梅齐里亚克的砝码问题。这位法国数学家采用“迂回进击”的战术,使问题得到解决。

他是这样演绎的:

首先说明一个结论:如果有一系列砝码,把它们适当地分放在天平的两个托盘上,能称出1到n的所有整数磅重物(这时这些砝码重量的和也一定为n磅)。另设有一块砝码,它的重量为m磅(m=2n+1),那么原来所有的砝码再加砝码m所组成的砝码组便能称出从1到3n+1的所有整数磅的重物。

因为,原砝码组可称出重量1到n的所有整数磅重物。而原砝码组与重量为m磅的砝码可以秤n+1到2n+1磅的所有整数磅重物。

由此可判定这4块砝码的重量:

第一块砝码取m1=1(磅)

第二块砝码取m2=2×1+1=3(磅)

第三块砝码取m3=2(1+3)+1=9(磅)

第四块砝码取m4=2(1+3+9)+1=27(磅)

用这4块砝码可秤从1到(1+3+9+27)=40磅间的任何一个整数磅重物。