书城科普读物必听的数学之谜
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第79章 无理数是如何发现的

无理数是怎么发现的?这件事还要从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派说起。

毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。他认为:“任何两条线段之比,都可以用两个整数的比来表示。”两个整数的比实际上包括了整数和分数。因此,毕达哥拉斯认为,世界上只存在整数和分数,除此以外,没有别的什么数了。

可是不久就出现了一个问题,当一个正方形的边长是1的时候,对角线的长m等于多少?是整数呢,还是分数?

根据勾股定理m2=12 12=2,m显然不是整数,因为12=1,22=4,而m2=2,所以m一定比1大,比2小。那么m一定是分数了。可是,毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力,也找不出这个分数。

边长为1的正方形,它的对角线m总该有个长度吧!如果m既不是整数,又不是分数,m究竟是个什么数呢?难道毕达哥拉斯错了,世界上除了整数和分数以外还有别的数?这个问题引起了毕达哥拉斯极大的苦恼。

毕达哥拉斯学派有个成员叫希伯斯,他对正方形对角线问题也很感兴趣,花费了很多时间去钻研这个问题。

毕达哥拉斯研究的是正方形的对角线和边长的比,而希伯斯却研究的是正五边形的对角线和边长的比。希伯斯发现当正五边形的边长为1时,对角线既不是整数也不是分数。希伯斯断言:正五边形的对角线和边长的比,是人们还没有认识的新数。

希伯斯的发现,推翻了毕达哥拉斯认为数只有整数和分数的理论,动摇了毕达哥拉斯学派的基础,引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。为了维护毕达哥拉斯的威信,他们下令严密封锁希伯斯的发现,如果有人胆敢泄露出去,就处以极刑——活埋。

真理是封锁不住的。尽管毕达哥拉斯学派教规森严,希伯斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人,追查的结果,发现泄密的不是别人,正是希伯斯本人!

这还了得!希伯斯竟背叛老师,背叛自己的学派。毕达哥拉斯学派按照教规,要活埋希伯斯,希伯斯听到风声逃跑了。

希伯斯在国外流浪了好几年,由于思念家乡,他偷偷地返回希腊。在地中海的一条海船上,毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯:残忍地将希伯斯扔进地中海。无理数的发现人被谋杀了!

希伯斯虽然被害死了,但是无理数并没有随之而消灭。从希伯斯发现中,人们知道了除去整数和分数以外,还存在着一种新数,2就是这样的一个新数。给新发现的数起个什么名字呢?当时人们觉得,整数和分数是容易理解的,就把整数和分数合称“有理数”;而希伯斯发现的这种新数不好理解,就取名为“无理数”。

有理数和无理数有什么区别呢?

主要区别有两点:

第一,把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数或无限循环小数,比如4=4.0,0,45=8,13=0.333……而无理数只能写成无限不循环小数,比如2=1.4142……根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

第二,所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数却不能写成两个整数之比。根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫“比数”,把无理数改叫“非比数”。本来嘛,无理数并不是不讲道理,只是人们最初对它不太理解罢了,利用有理数和无理数的主要区别,可以证明2是无理数,使用的方法是反证法。

证明2是无理数。

证明:假设2不是无理数,而是有理数。

既然2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:

2=pq

又由于p和q有公因数可以约去,所以可以认为pq为既约分数。

把2=pq两边平方,得:2=p2q2

即2q2=p2

由于2q2是偶数,p必定为偶数,设p=2m

由2q2=4m2

得q2=2m2

同理q必然也为偶数,设q=2n。

既然p和q都是偶数,它们必有公因数2,这与前面假设pq是既约分数矛盾。这个矛盾是由假设2是有理数引起的。因此2不是有理数,而应该是无理数。

无理数可以用线段长度来表示。下面是在数轴上确定某些无理数位置的方法,其中2,3,5……都是无理数。具体做法是:

在数轴上,以原点O为一个顶点,以从O到1为边作一个正方形。根据勾股定理有:

OA2=12 12=2

OA=2

以O为圆心,OA为半径画弧与OX轴交于一点,该点的坐标为2,也就是说在数轴上找到了表示2的点;以2点引垂直于OX轴的直线,与正方形一边的延长线交于B,同理可得OB=3,可在数轴上同法得到3.还可以得到5,6,7,等等无理数点。

也可以用作直角三角形的方法,得到表示,2,3,5等无理数的发现。

有理数与无理数合称实数。初中阶段遇到的数都是实数。今后还要陆续学到许多无理数,如e,sin10,log10等等。