欧几里得的几何经典著作《几何原本》可以作为逻辑的严密性的一个很好的例子。它从少数定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，把丰富而零散的几何材料整理成了系统严明的整体，成为人类历史上的科学杰作之一，一直被后世推崇。两千多年来，所有初等几何教科书以及19世纪以前一切有关初等几何的论著都以《几何原本》作为根据。“欧几里得”成为几何学的代名词，人们并且把这种体系的几何学叫做欧几里得几何学。
但是数学的严密性不是绝对的，数学的原则也不是一成不变的，它也在发展着。比如，前面已经讲过《几何原本》也有不完美的地方，某些概念定义得不明确，采用了本身应该定义的概念，基本命题中还缺乏严密的逻辑根据。因此，后来又逐步建立了更严密的希尔伯特公理体系。
3应用的广泛性
我们几乎每时每刻都要在生产和日常生活中用到数学，丈量土地、计算产量、制订计划、设计建筑都离不开数学。没有数学，现代科学技术的进步也是不可能的，从简单的技术革新到复杂的人造卫星的发射都离不开数学。而且，几乎所有的精密科学、力学、天文学、物理学甚至化学通常都是以一些数学公式来表达自己的定律的，并且在发展自己的理论的时候，广泛地应用数学这一工具。当然，力学、天文学和物理学对数学的需要也促进了数学本身的发展，比如力学的研究就促使了微积分的建立和发展。
数学的抽象性往往和应用的广泛性紧密相连，某一个数量关系，往往代表一切具有这样数量关系的实际问题。比如，一个力学系统的振动和一个电路的振荡等用同一个微分方程来描述。撇开具体的物理现象中的意义来研究这一公式，所得的结果又可用于类似的物理现象中，这样，我们掌握了一种方法就能解决许多类似的问题。对于不同性质的现象具有相同的数学形式，就是相同的数量关系，是反映了物质世界的统一性，因为量的关系不只是存在于某一种特定的物质形态或者它的特定的运动形式中，而是普遍存在于各种物质形态和各种运动形式中，所以数学的应用是很广泛的。
正因为数学来自现实世界，正确地反映了客观世界联系形式的一部分，所以它才能被应用，才能指导实践，才表现出数学的预见性。比如，在火箭、导弹发射之前，可以通过精密的计算，预测它的飞行轨道和着陆地点；在天体中的未知行星未被直接观察到以前，就从天文计算上预测它的存在。同样的道理也才使得数学成为工程技术中的重要工具。
下面举几个应用数学的光辉例子。
第一，海王星的发现。太阳系中的行星之一的海王星是在1846年在数学计算的基础上发现的。1781年发现了天王星以后，观察它的运行轨道总是和预测的结果有相当程度的差异，是万有引力定律不正确呢，还是有其他的原因？有人怀疑在它周围有另一颗行星存在，影响了它的运行轨道。1844年英国的亚当斯(1819—1892年)利用引力定律和对天王星的观察资料，推算这颗未知行星的轨道，花了很长的时间计算出这颗未知行星的位置，以及它出现在天空中的方位。亚当斯于1845年9-10月把结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查理士和英国格林尼治天文台台长艾里，但是查理士和艾里迷信权威，把它束之高阁，不予理睬。
1845年，法国一个年轻的天文学家、数学家勒维烈(1811—1877年)经过一年多的计算，于1846年9月写了一封信给德国柏林天文台助理员加勒(1812—1910年)，信中说：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，就是经度326°的地方，那时你将在那个地方1°之内，见到一颗九等亮度的星。”加勒按勒维烈所指出的方位进行观察，果然在离所指出的位置相差不到1°的地方找到了一颗在星图上没有的星——海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学、特别是哥白尼日心学说的伟大胜利，而且也是数学计算的伟大胜利。
第二，谷神星的发现。1801年元旦，意大利天文学家皮亚齐(1746—1826年)发现了一颗新的小行星——谷神星。不过它很快又躲藏起来，皮亚齐只记下了这颗小行星是沿着9°的弧运动的，对于它的整个轨道，皮亚齐和其他天文学家都没有办法求得。德国的24岁的高斯根据观察的结果进行了计算，求得了这颗小行星的轨道。天文学家们在这一年的12月7日在高斯预先指出的方位又重新发现了谷神星。
第三，电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦(1831—1879年)概括了由实验建立起来的电磁现象，呈现为二阶微分方程的形式。他用纯数学的观点，从这些方程推导出存在着电磁波，这种波以光速传播着。根据这一点，他提出了光的电磁理论，这理论后来被全面发展和论证了。麦克斯韦的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波，比如由振动放电所发射的电磁波。这样的电磁波后来果然被德国物理学家赫兹(1857—1894年)发现了。这就是现代无线电技术的起源。
第四，1930年，英国理论物理学家狄拉克(1902—1984年)利用数学演绎法和计算预言了正电子的存在。1932年，美国物理学家安德逊在宇宙射线实验中发现了正电子。类似的例子不胜枚举。总之，在天体力学中，在声学中，在流体力学中，在材料力学中，在光学中，在电磁学中，在工程科学中，数学都作出了异常准确的预言。
(第三节 ）信息技术与课程整合
在全国课程改革实验区信息技术教育研讨会上教育部领导明确指出，不应当把信息技术仅仅作为学习的对象，而应当作为学习的工具，要努力实现信息技术与课程的整合，实现教学方式、学习方式的根本变革。李连宁强调，加快推进中小学信息技术教育，首先要实现观念的转变，一是要把信息技术从学习对象转变为学习工具，要把信息化作为提高教育质量的一个重要载体，信息技术的应用要和日常的教育教学结合起来，真正把信息技术运用到学习之中。二是要把信息技术作为辅助教学的手段转变为学习的方式，发挥信息技术在学生自主学习、主动探究、合作交流等方面的优势。建构在网络环境下学生自主学习的方式，这是信息技术与课程整合所追求的目标。新一轮基础教育课程改革，突出强调信息技术与课程的整合，要把信息技术与课程改革有机地结合起来，使新课程在一个比较高的水准上推进。只有实现信息技术与课程的整合，信息技术才不再仅仅是一种技术手段，而是一种学习方式的根本变革。
信息技术与课程教学的整合，正在成为当前我国信息技术教育乃至整个教育信息化进程中的一个热点问题。在世界其他教育信息化程度较高的国家如美国、加拿大、新加坡等，在信息技术教育发展的过程中，也都是逐渐将信息技术教育与其他课程教学的整合放在十分重要的地位。
从理论上讲，课程整合(Curriculum Integration)意味着对课程设置、各课程教育教学的目标、教学设计、评价等诸要素作系统的考量与操作，也就是说要用整体的、联系的、辩证的观点来认识、研究教育过程中各种教育因素之间的关系。
比较狭义的课程整合通常指的是，考虑到各门原分列课程之间的有机联系，将这些课程综合化。
还有一种整合是相对广义的，即课程设置的名目不变，但相关课程的课程目标、教学与操作内容(包括例子、练习等)、学习的手段等课程要素之间互相渗透、互相补充。当这些互相渗透和补充的重要性并不突出，或者已经非常自然，到了潜移默化的程度时，就没有必要专门提“整合”了。反之，就需要强调“整合”。
信息技术与各学科课程的整合不是一夜之间冒出来的概念，而是国内外计算机学科教学与应用长期探索、实践与反思的结果。计算机有规模地进入教育领域，在发达国家始于20世纪70年代，在我国，20世纪80年代初也已经有了相当积极的探索。在这20多年中，计算机技术本身突飞猛进，其应用更是迅速渗透到社会的各个领域。但是，尽管信息技术教育的重要性几乎已被全世界所公认，在学校里相对的投入也很大，计算机却始终是“游离于教学的核心以外”。学校的主业，即各学科课程的教学，没有享受到多少计算机带来的效益。但通过长期的实践与理论探索，信息技术与各学科课程整合的概念逐渐清晰起来，近几年来，更被看作是改革传统教学弊端的重要举措。
如何具体理解信息技术教育的课程整合，如何具体实现整合，还存在着不同的理解。不同的理解会带来一些不同的做法，但最主要的可能还在于对课程整合的目标价值观的微妙差异。
目前国内对课程整合比较主流的理解是“把计算机技术融入到各学科教学中，就像使用黑板、粉笔、纸和笔一样自然、流畅”。这种观点将课程整合的重点放在CAI，即计算机辅助教学上。它突出计算机作为工具，去辅助各传统学科的教学。在做法上，该课题强调三个要点：一是软件方面寻求合适的教学平台，提倡教师利用现有平台，而不提倡教师人人做课件；二是相应的教师培训，一方面应着重提倡一般化的基本技能培训，如对Office基本组件Word、Excel及Powerpoint的培训；另一方面是学科素养、学科教学论及教育技术理论(如教学设计)方面的培训；三是在教师熟练掌握技术的基础上，通过信息检索、师生交流、学生自主探究学习、多媒体演示等手段实施课程整合。目前这方面的实践比较热门也是比较成功的例子是利用美国开发的计算机教学软件“几何画板”与数学、物理课程进行整合。从整合的目标价值观看，这种观点看重的似乎是被辅助的其他各学科教育(包括突破难、重点，提高教学效率乃至改变教学模式)，而非信息技术教育本身。
另有一种对信息技术课程整合的理解主要指信息技术课程的内部整合。例如，可以让整体的信息技术课程由正规的学科课程(排入正规课表、教材)、活动课程(如网页制作、网络知识、电脑美术、编程等兴趣小组)和其他隐性课程(如学校与周边社会的信息环境)来组合而成，并协调这些环节来培养学生的信息意识、信息能力。这一类课程整合有时也涵盖调整信息技术课程的教学内容、创新教学方法、改革评价方法等。总的来说，这一类整合从目标价值观看，主要着眼于达成信息技术教育的目标，即培养学生对信息技术的兴趣和意识，让学生了解并掌握信息技术基本知识和技能，使学生具有获取信息、传输信息、处理信息和应用信息技术手段的能力，形成良好的文化素养，为他们适应信息社会的学习、工作和生活打下必要的基础。
从教育信息化和教育教学改革的全局出发，信息技术的课程整合，无论是其自身的，还是与其他学科课程之间的，都有其必然性。这种必然性是由信息技术学科本身的特点以及它确已渗透到了社会的各个领域这样的事实所决定的。事实上，这一课程整合也确已成为各国信息技术教育乃至整个教育教学改革的研究热点和发展趋势。基于对取得的资料的分析，对已有实践的思考和一些理论推测，下面就信息技术教育课程整合问题，提以下几点，供有兴趣的读者进一步思考和探讨：
1.CAI，即计算机辅助各课程教学是目前信息技术教育与其他各课程整合的主要的并且也是有效的方式，但从更完整意义的整合目标价值观看，这种整合方式也应逐步体现信息技术教育的目标价值。例如，在整合的环节中，可有意识地注意培养学生对信息技术的兴趣、意识及灵活地检索信息、传输信息、处理信息和展示信息的能力。从这个意义上讲，目前流行的整堂课以讲为主加大屏幕展示的模式，其信息技术教育方面的价值就不大，而基于光盘或网络检索的探究模式或实验、调查加计算机数据处理的模式价值就很高了。事实上，包括设备投入在内，计算机辅助教学的成本相当高，如果只计被辅助课程的目标价值，不计信息技术教育方面的目标价值，是很难取得令人信服的效益成本比的。
2.信息技术学科需要单列的课程，课程设置不宜完全模仿其他传统课程。一种做法是配以一定的主题活动课程，如网页设计、电脑美术等；另一种做法是干脆在课程和教材中安排这些主题，甚至安排计算机辅助的其他学科(如语言、数学、科学、历史等)内容的学习，这种做法其实在美国的小学中被经常采用。信息技术学科自身课程的整合方面还有一个亟待考虑的问题是各个学习阶段的课程整合问题，也即小学、初中和高中的课程如何安排和衔接。这个问题近阶段会非常突出。
3.信息技术教育的整体目标和任务单独依靠其课程教学本身是难以全面达成的，与其他学科课程的整合、专题活动课程的安排、学校及周边信息环境的建设和利用，将非常有利于信息技术教育目标的实现。
4.在各科教材的改革中，也应努力体现与信息技术学科的整合。例如，是否需要重选内容、实例、实验、练习等？
5.教学模式的改革(或重构)中，信息技术课程整合的优势有很大的发展空间。美国促进科学协会在其以课程整合设计为主要目标的“2061计划”中提到：“如果说重构模式并不是一件难事和并不需要多长时间的话，那么要让它代替已有的课程模式则是相当大的难题和需要相当长的时间。”在中国，教学模式的改革似乎更加艰难。信息技术这一全新的教育因素的恰当介入，是可以起到强有力的推动作用的。配合教学模式的改革，将计算机配到教室和实验室，也是一个应该积极探究的问题。
6.适当的教学软件，始终是一个关键问题。像几何画板、Encarta(一种适合学生的电子多媒体百科全书)显然能在课程整合中起到相当关键的作用。开发适合中国国情、有反复使用或推广价值的高质量的教学软件，应该说至今未取得很大突破。一方面，应积极发掘可用软件的潜力(如Excel在数据处理和图形生成方面的优势很多可用于教学)。不应该提倡人人做课件，但是，部分有兴趣的、学科与教育素质和计算机素质兼备的教师参与开发，肯定有利于我国教育软件水平的提高。